# Algebra [Lecture notes] by Christoph Schweigert

By Christoph Schweigert

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K − 1 und πσπ −1 (π(mk )) = πσ(mk ) = π(m1 ). • Aus der Relation (∗) folgt leicht mit Hilfe einer Zykelzerlegung π = σ1 . . σr und ππ π −1 = πσ1 π −1 . . πσr π −1 , dass zwei Permutationen genau dann konjugiert sind, wenn sie die gleiche Partition haben. 2. 1. Die symmetrische Gruppe Sr wird von den Transpositionen erzeugt. 2. Die alternierende Gruppe Ar wird von den Dreizykeln erzeugt. Beweis. 1. Jede Permutation kann als kommutierendes Produkt von Zykeln geschrieben werden. F u ¨r jeden Zykel finden wir (m1 , m2 , .

Als Untergruppen der abelschen Gruppe A sind B und a normal; B ∩ a = {e} gilt nach Voraussetzung. Wir m¨ ussen also nur zeigen, dass A gleich dem Produkt von B und a ist. • Dazu betrachten wir die kanonische Projektion π : A → A := A/B auf die Faktorgruppe ein und zeigen durch einen Widerspruchsbeweis, dass A vom Bild a = π(a) von a erzeugt wird. Sei Zˉ := a die von a ˉ erzeugte Untergruppe vder Faktorgruppe A. • Wir nehmen also an, es g¨abe ein Element c ∈ A \ Z. Als Quotient einer p-Gruppe ist A eine p-Gruppe.

Genauer haben wir f u ¨r beliebiges m ∈ N eine Bijektion ∼ {Teiler d ∈ N von m} → {Untergruppen von Z/mZ} d → dZ/mZ 33 Beweis. 5. Wenn G zyklisch ist, k¨onnen wir einen Erzeuger von G w¨ahlen. Jede Wahl eines Erzeugers g ∈ G liefert einen Gruppenhomorphismus ϕ:Z → n → G gn , der surjektiv ist, weil g ein Erzeuger ist. 5 von der Form K = mZ. Sei U ⊂ G eine Untergruppe. Dann ist das Urbild H := ϕ−1 (U ) ⊂ Z eine Untergruppe, also von der Form dZ. Das Bild ϕ(d) ∈ U ist ein Erzeuger von U , also ist U zyklisch.