Analisi matematica by Soardi P. M.

By Soardi P. M.

Nel quantity vengono trattati in modo rigoroso gli argomenti che fanno parte tradizionalmente dei corsi di Analisi matematica I: numeri reali, numeri complessi, limiti, continuità, calcolo differenziale in una variabile e calcolo integrale secondo Riemann in una variabile. Le nozioni di limite e continuità sono ambientate negli spazi metrici, di cui viene presentata una trattazione elementare ma precisa. I concetti astratti sono ogni volta interpretati e discussi nel caso di funzioni reali di variabile reale. Tutti i risultati enunciati nel libro vengono dimostrati, o nel corso dell'esposizione, o nelle appendici dei vari capitoli. Tuttavia, questo libro non vuole essere un'opera puramente teorica. Vengono trattati argomenti che spesso sono demandati alle esercitazioni: il calcolo dei limiti consistent with funzioni a valori reali o vettoriali, il calcolo delle derivate, i modi più comuni di integrazione. Tutti gli argomenti esposti sono corredati da numerosi esempi e determine.

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Analisi matematica

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Le propriet`a della distanza sono imediatamente verificate. Si noti che questa distanza non `e la metrica indotta da R2 , descritta nel precedente esempio. Infatti dC (p, q) = p − q < min ( (p, q), 2π − (p, q)) . 7. L’esempio precedente pu`o essere generalizzato. Sia S ⊆ R3 la superficie sferica unitaria. Siano p e q due punti di S. Per essi passa uno e un solo cerchio massimo. Chiamiamo distanza tra p e q il minimo delle lunghezze dei due archi di cerchio massimo. Anche in questo caso la distanza `e diversa dalla distanza indotta da R3 .

Se A `e il sottoinsieme dei quadrati, otteniamo l’allineamento 1 0 0 1 0 0 0 0 1 ... Quindi, ad ogni A viene associato un allineamento infinito di cifre 0 e 1. La corrispondenza tra questi allineamenti e P(N) `e chiaramente biunivoca. 4, P(N) ha la potenza del continuo. Ci si pu`o chiedere se esistano insiemi con potenza maggiore del continuo. La risposta `e affermativa. In analogia al caso di N, P(X) ha sempre potenza maggiore di X. Prima di dimostrare questo risultato, osserviamo che, come nel caso numerabile, P(X) `e equipotente all’insieme di tutte le funzioni f : X → {0, 1} .

Valgono le seguenti definzioni. 1. La funzione f si dice suriettiva se f (X) = Y . 2. La funzione f si dice iniettiva se ∀x1 , x2 ∈ X x1 = x2 =⇒ f (x1 ) = f (x2 ). 3. La funzione f si dice biunivoca se `e suriettiva e iniettiva. 2 non sono n´e suriettive, n´e iniettive. 3 `e suriettiva, ma non iniettiva. 4 `e iniettiva, ma non suriettiva. 5 `e sia iniettiva che suriettiva, cio`e biunivoca. E funzione `e suriettiva sul suo codominio. Ad esempio, la funzione f (x) = sin x `e suriettiva da R a [−1, 1].

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