Analysis - Arbeitsbuch: Bezüge zwischen Schul- und by Thomas Bauer

By Thomas Bauer

Schulmathematik und universitäre Mathematik – zwei getrennte Welten? Das vorliegende Buch begegnet dieser Frage mit einem neuen Konzept: Es bietet Schnittstellenaufgaben, die in den zentralen Themenbereichen der research vielfältige Bezüge zwischen Schul- und Hochschulmathematik herstellen und diese für das Mathematiklernen nutzbar machen.

- Schnittstellenaufgaben greifen Vorstellungen aus der Schulmathematik auf und nutzen diese, um Begriffsbildungen und Konzepte der Hochschulmathematik besser zu verstehen.

- Umgekehrt zeigen sie, dass die Instrumente der Hochschulmathematik Möglichkeiten bieten, Schulmathematik tiefer zu durchdringen und sie auch dort zu erklären, wo in der Schule Plausibilitätsbetrachtungen genügen müssen.

Ausführliche kommentierte Lösungsvorschläge unterstützen dabei den Lernprozess.

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B) Wahr – wenn man das genannte »Sich-Ann¨ ahern« der Sekanten so versteht, dass ihre Steigungen einen Grenzwert besitzen. Denn in der Tat sind die Sekantensteigungen genau die Differenzenquotienten, deren Limes in der Definition der Differenzierbarkeit betrachtet wird. Zwei Hinweise: • Um auf Differenzierbarkeit schließen zu k¨ onnen, gen¨ ugt es nicht, dass eine Folge (an ) mit an → a existiert, f¨ ur die sich die zugeh¨ orige Folge der Sekanten einer Grenzgerade ann¨ ahert. Vielmehr muss diese Eigenschaft f¨ ur alle solchen Folgen (an ) erf¨ ullt sein (siehe Abb.

Tipp: Die in (a) ermittelte explizite Darstellung von fn kann hierzu n¨ utzlich sein. * * * 1 Es gibt auch weniger elementare Verfahren, die z. B. Methoden der Linearen Algebra (Eigenwerttheorie) verwenden. Diese sind nat¨ urlich ebenfalls interessant und n¨ utzlich. 24 1. Funktionen, Folgen und Grenzwerte b a a b−a Abb. 1: Der Goldene Schnitt ist das Seitenverh¨ altnis eines Rechtecks, das folgende Eigenschaft hat: Teilt man von der k¨ urzeren Seite her ein Quadrat von dem Rechteck ab, so verbleibt ein Rechteck, das genau dasselbe Seitenverh¨ altnis hat wie das Ausgangsrechteck.

Nun zum allgemeinen Fall, in dem n 2 beliebig ist. Wir st¨ utzen uns auf dieselbe Idee, die wir hier in algebraisch aufwendigerer Form einsetzen. √ √ Mit den Abk¨ urzungen u := n x und v := n a gilt √ √ n u−v x− na = x−a x−a = u − v un−1 + un−2 v + . . + vn−1 · x − a un−1 + un−2 v + . . + vn−1 = un − vn (x − a)(un−1 + un−2 v + . . + vn−1 ) = x−a (x − a)(un−1 + un−2 v + . . + vn−1 ) = 1 un−1 + un−2 v + . . + vn−1 . F¨ ur x → a konvergiert u gegen v (dank der schon gezeigten Stetigkeit). Der letzte Term der obigen Gleichungskette konvergiert somit gegen 1 1 √ = .

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