Aufgabensammlung Mathematik: Band 2: Analysis Mehrerer by Herbert Wallner

By Herbert Wallner

Der zweite Teil dieser Aufgabensammlung umfasst einen großen Vorrat an Beispielen aus research mehrerer Variablen, Vektoranalysis, Gewöhnlichen Differentialgleichungen und Integraltransformationen. Wie bei Band 1 werden für jedes Teilgebiet zunächst die zum Bearbeiten der nachfolgenden Aufgaben erforderlichen Grundlagen kurz zusammengefasst und anschließend jeweils eine Reihe speziell ausgewählter Beispiele ausführlich gelöst. In einem weiteren Abschnitt werden Aufgaben mit Lösungen angegeben. In einem abschließenden Kapitel behandelt der Autor Aufgabenstellungen aus Technik und Physik.

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Xn ) = 0, f2 (x) = f2 (x1 , x2 , . . , xn ) = 0, .. fk (x) = fk (x1 , x2 , . . , xn ) = 0 mit x1 , x2 , . . , xn ∈ lR lokal nach den Variablen x1 , x2 , . . h. es gibt ein δ > 0 und es gibt k Funktionen in den (n − k) Variablen xk+1 , xk+2 , . . , xn : x1 = ϕ1 (xk+1 , . . , xn ), x2 = ϕ2 (xk+1 , . . , xn ), .. xk = ϕk (xm+1 , . . , xn ), die f¨ ur |xj − x0j | < δ, j = k + 1, k + 2, . . , n definiert und stetig differenzierbar sind, so dass identisch gilt: f1 ϕ1 (xk+1 , . . , xn ), ϕ2 (xk+1 , .

Ferner ist ∂x = = −z 2 + 4x = 3 = 0. ∂g ∂g (1,1,−1) 2x z ∂x ∂y P P Damit existieren aber die zwei Funktionen ϕ(z) und ψ(z) in U (1, 1, −1). zu b): √ Aus g(x, y, z) = 0 folgt in U (1, 1, −1) die eindeutig bestimmte Aufl¨osung x = −yz. √ √ Einsetzen in f (x, y, z) = 0 liefert: z 2 − 2y − −yz z = 0 bzw. z 2 − 2y = −yz z, 3 4 woraus durch Quadrieren folgt: z 4 −4yz 2 +4y 2 = −yz 3 bzw. y 2 + z4 − z 2 y+ z4 = 0. 2 z2 z3 z2 z3 z4 − − kommt nur jene mit ± − 2 8 2 8 4 +“ in Frage, da y in einer Umgebung von y0 = 1 liegen muss.

2 2 Bemerkung: H¨atten wir nach dem Wurzelziehen auf den Absolutbetrag vergessen, h¨atten wir die unm¨ogliche“ Bogenl¨ange 0 erhalten. ” = 7. Gegeben ist die Kurve K im lR2 durch cos t + cos2 t sin t + sin t cos t x(t) = , 0 ≤ t ≤ 2π . Untersuchen Sie, in welchen Punkten der Tangentenvektor an K existiert. Bestimmen Sie ferner die Kr¨ ummung im Punkt P (2, 0) sowie die Bogenl¨ange von K. L¨ osung: Nachdem x(t) differenzierbar ist, existiert der Tangentenvektor in allen Punkten, in ˙ denen der Vektor x(t) nicht Null ist.

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