Einführung in die Analysis 2 by Rolf Walter

By Rolf Walter

Research 2 first covers the differentiability of services of numerous variables and critical purposes for example difficulties of minimization. additionally the time period of integration of features with numerous variables in response to the Lebesgue critical is mentioned intimately. It comprises then supplementary chapters on Lebesgue areas and the fundamentals of topology in addition to a number of workouts and photo illustrations.

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V/k : 38 Kapitel 10 Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher Man bestätigt leicht, dass k k die Normaxiome für V erfüllt. Die Norm k k ist offensichtlich so gemacht, dass die gegebene Abbildung normtreu wird. Man sagt, k k sei von k k durch ' induziert. D. Satz. Seien V; W normierte Vektorräume und V endlich-dimensional. Dann ist jede lineare Abbildung L W V ! V; W /: Beweis. Sei n ´ dim V . Wir wählen irgendeinen Vektorraum-Isomorphismus ' W Rn ! x/k : Die erste dieser Normen ist die durch ' induzierte, die zweite eine Modifikation von ihr (und ersichtlich wieder eine Norm).

I) Ist die Abbildung F W A ! x/ D 0 für alle x 2 A, so ist F konstant (allgemeines Konstanzkriterium). (ii) Sind F; G W A ! x/ C c für alle x 2 A. a/ für ein a 2 A, so folgt F D G. Beweis. a/ : Zu zeigen ist: N D A. Dazu wird natürlich die Gebietseigenschaft von A herangezogen. x0 ; ı/ A und betrachten für festes h 2 V mit khk < ı die Abbildung G W Œ0; 1 ! x0 C th/: Man bewegt sich also geradlinig weg von x0 . x0 ; ı/ N . a/. b/ offen. b/ gilt. a/, somit U A n N. A n N / und N ¤ ¿ folgt, weil A zusammenhängend ist: A n N D ¿, also N D A.

Ist f W J ! R stetig und lokal injektiv, so ist f injektiv. Im Höherdimensionalen ist dieser Schluss nicht erlaubt. 1] Aufgaben und Anmerkungen 1. Man beweise folgende Varianten der Konstanzkriterien: a) Für die differenzierbare Funktion F W J ! t/ D 0: Dann ist F konstant. b) Seien V; W normierte Vektorräume und A ein Gebiet in V . Für die differenzierbare Abbildung F W A ! x/ D 0: Dann ist F konstant. 2. Sei J ein Intervall und k 2 R gegeben. 3]: Eine differenzierbare Funktion F W J ! t/ D e kt C mit konstantem C 2 W .

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