# Elements of the integral calculus by William Elwood Byerly

By William Elwood Byerly

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Example text

Gin der z-Ebene undf(G) in der w-Ebene Um aber die Wirkung vonfirn einzelnen zu erkennen, überziehen wir G mit irgendeinem markierenden Netz, z. B. einfach mit den x- und y-Linien, und betrachten dessen Bild in der w-Ebene: ~~ Figur 46. Deutlichere Vorstellung von der Funktion f(z) durch Beobachten eines Netzes Das wäre also eine dritte Möglichkeit, mit komplexen Funktionen eine anschauliche Vorstellung zu verbinden, welche übrigens mit der zuerst genannten Höhenlinien-Methode nahe verwandt ist, denn die Bildlinien des x-y-Netzes sind gerade die Höhenlinien von Real- und Imaginärteil der Umkehrabbildungf- 1 : (u, v) 1-+ (x,y) vonj, sofern man von einer solchen sprechen kann.

Dz - lzl= r z • ire; = --. dt = 211:1, 0 1 0 re'1 und dies ist das einfachste und zugleich wichtigste Beispiel eines geschlossenen Integrals über einen analytischen Integranden, bei dem nicht Null herauskommt. - Aus diesen beiden Notizen erhalten wir auch das KoroUar: Ist f(z) r < r1 < R, so gilt f lzl=rt f(z)dz besitzen;alsoa~ 1 = 00 = L anzn eine fiir r < Iz I < R konvergente Laurentreihe und ist n=- oo = f a~ 1 Figur 90 dz = 2n:ia_ 1, weildieanderen TermeStammfunktionen lzl=rt - 1-. \:, f(z)dz("Residuum"derLaurentreihe, vgl.

Einfach mit den x- und y-Linien, und betrachten dessen Bild in der w-Ebene: ~~ Figur 46. Deutlichere Vorstellung von der Funktion f(z) durch Beobachten eines Netzes Das wäre also eine dritte Möglichkeit, mit komplexen Funktionen eine anschauliche Vorstellung zu verbinden, welche übrigens mit der zuerst genannten Höhenlinien-Methode nahe verwandt ist, denn die Bildlinien des x-y-Netzes sind gerade die Höhenlinien von Real- und Imaginärteil der Umkehrabbildungf- 1 : (u, v) 1-+ (x,y) vonj, sofern man von einer solchen sprechen kann.