Kompendium der ANALYSIS - Ein kompletter Bachelor-Kurs von by Robert Denk, Reinhard Racke (auth.)

By Robert Denk, Reinhard Racke (auth.)

Das zweibändige Werk umfasst den gesamten Stoff von in der „Analysis“ üblichen Vorlesungen für einen sechssemestrigen Bachelor-Studiengang der Mathematik. Die Bücher sind vorlesungsnah aufgebaut und bilden die Vorlesungen exakt ab. Jeder Band enthält Beispiele und zusätzlich ein Kapitel "Prüfungsfragen", das Studierende auf mündliche und schriftliche Prüfungen vorbereiten soll. Das Werk ist ein Kompendium der research und eignet sich als Lehr- und Nachschlagewerk sowohl für Studierende als auch für Dozenten.

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Analisi matematica

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Zu j = 1, . . , N n w¨ ahle aj ∈ Aj mit | det Φ (aj )| = minx∈Aj | det Φ (x)|. Zu festem j sei h(x) := (h1 (x), . . , hn (x))T := Φ(x) − Φ (aj )x (x ∈ Aj ). Mittelwertsatz der Differentialrechnung ⇒ zu x ∈ Aj existiert ci ∈ Aj mit |hi (x) − hi (aj )| = |hi (ci )(x − aj )| = |(Φi (ci ) − Φi (aj ))(x − aj )| ≤ Φ (ci ) − Φ (aj ) ∞ |x − aj |∞ ε δ (i = 1, . . , n). ≤ M Nimmt man das Maximum u alt man ¨ber alle i = 1, . . , n, so erh¨ |Φ(x) − Φ (aj )x − Φ(aj ) + Φ (aj )aj |∞ ≤ εδ M (x ∈ Aj ) 34 3 Weitere klassische S¨atze der Integrationstheorie εδ εδ n ⇒ Φ(Aj ) ⊂ Φ(aj ) − Φ (aj )aj + Φ (aj )(Aj ) + [− M , M] .

1 (ii)) Sei α := limn→∞ fn dμ ∈ [0, ∞]. Wegen Sei 0 < c < 1 und s Stufenfunktion mit X | fn (x) ≥ cs(x)}. Da (fn )n monoton ist, Wegen cs ≤ fn auf An gilt fn dμ ≥ lim fn dμ. n→∞ ⇒ f dμ ∈ [0, ∞] existiert. fn dμ ≤ f dμ folgt α ≤ f dμ. 0 ≤ s ≤ f . Definiere An := {x ∈ folgt A1 ⊂ A2 ⊂ . . fn dμ ≥ c sdμ. An An limn→∞ fn = f , c < 1 ⇒ n∈N An = X. 4) ⇒ lim n→∞ fn dμ ≥ c sdμ. Supremum u ¨ber alle Stufenfunktionen s mit 0 ≤ s ≤ f ⇒ lim n→∞ c < 1 beliebig ⇒ α ≥ fn dμ ≥ c f dμ. f dμ ⇒ Behauptung. 7 (Addititivit¨ at des Integrals).

17 K ⊂ Uk , K kompakt, mit sn0 |K stetig und p ε λ(Uk \ K) < . 4 sn0 ∞ Setze ϕ(x) ˜ := sn0 (x), x ∈ K, 0, x ∈ U \ Uk . 18) Fortsetzung ϕ ∈ C(U ) von ϕ˜ mit |ϕ(x)| ≤ sn0 ∞ (x ∈ U ). ϕ = 0 auf U \ Uk ⇒ supp ϕ ⊂ Uk ⊂ U ⇒ ϕ ∈ C0 (U ). Es gilt sn0 − ϕ p p |sn0 − ϕ|p dλ = = U ≤ 2p sn0 ⇒ f −ϕ p ≤ f − fk p p ∞ + fk − sn0 Uk \K λ(Uk \ K) < p + sn0 − ϕ |sn0 − ϕ|p dλ ε 2 p p . ✷ < ε. Der Beweis des folgenden Satzes verwendet den Friedrichsschen3 Gl¨ attungsoperator: Sei ˜j(x) := 1 − 1−|x| 2 e 0, Dann ist ˜j ∈ C0∞ (Rn ).

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