Limits of Functions (Zambak) by Muhammer Taşkıran

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Example text

Lesen x ← M[e]: Es gelten: [[ x ← M[e]]] s = (ρ1 , μ ) [[ x ← M[e]]] D = D1 mit ρ1 = ρ ⊕ { x → μ ([[e]] ρ)} mit D1 = D ⊕ { x → Die Behauptung (ρ1 , μ ) Δ D1 folgt, da ρ1 x Δ } gilt. Speichern M[e1 ] ← e2 : Hier gilt die Behauptung, da weder der konkrete noch der abstrakte Kanteneffekt die Variablenbelegung modifiziert. Bedingung Zero(e): Sei [[Zero(e)]] s definiert. Dann gilt 0 = ([[e]] ρ) Δ ([[e]] D ). Folglich ist [[Zero(e)]] D = D = ⊥, und die Behauptung ist erfüllt. Bedingung NonZero(e): Sei nun [[NonZero(e)]] s definiert.

Die Variable z ist am 1 { y, R} 1 x ← y+1 2 { y, R} ; 2 z ← 2∗x 3 { y, R} ; 3 M[ R] ← y 4 ∅ M[ R] ← y 4 Abb. 14. Echt lebendige Variablen. Programmpunkt 2 nicht lebendig (auch nicht echt lebendig). Somit sind die Variablen auf der rechten Seite der zugehörigen Zuweisung (hier: x) auch nicht echt benutzt. Weil x nicht echt benutzt wird, ist daher x auch am Programmpunkt 1 nicht echt lebendig. 7 Beseitigung von Zuweisungen an tote Variablen [[;]] L [[NonZero(e)]] L [[ x ← e]] L [[ x ← M[e]]] L [[ M[e1 ] ← e2 ]] L = = = = = 39 L [[Zero(e)]] L = L ∪ Vars(e) ( L\{ x}) ∪ (( x ∈ L) ?

Nehmen wir weiter an, wir fd. , es gelte auch d d für alle i ≥ 0 gilt. Dies zeigen wir Dann genügt es zu zeigen, dass f i ⊥ erneut mittels vollständiger Induktion. Für i = 0 ist dies der Fall. Sei nun i > 0 und f i−1 ⊥ d . Wegen der Monotonie von f gilt dann, f i ⊥ = f ( f i−1 ⊥) fd d da d eine Lösung ist. Damit gilt unsere Behauptung für alle i. h. ab einem i konstant ist. Für die Terminierung unseres Verfahrens ist es damit hinreichend, wenn sämtliche aufsteigenden Ketten in D irgendwann stabil werden.

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